MOTORES, FRIGORIFICOS Y SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA
6.1. TRANSFORMACION DE TRABAJO EN CALOR, Y VICEVERSA
Si se frotan entre sí dos piedras debajo del agua, el trabajo contra el rozamiento se transforma en energía interna que tiende a elevar su temperatura. Sin embargo, tan pronto como la temperatura de las piedras es superior a la del agua que las rodea, hay un flujo de calor hacia el agua. Si la masa de ésta es suficientemente grande o está fluyendo continuamente, no habrá elevación apreciable de temperatura, y el agua puede considerarse como fuente de calor. Dado que el estado de las piedras es el mismo al final del proceso que al principio, el resultado neto del mismo es simplemente la transformación de trabajo mecánico en calor. Análogamente, si se hace circular una corriente eléctrica por una resistencia sumergida, ya sea en agua corriente o en una gran masa de agua, existe una transformación de trabajo eléctrico en calor, sin modificación de las coordenadas termodinámicas del cable de la resistencia. En general, puede realizarse trabajo de cualquier clase \(W\) sobre un sistema en contacto con una fuente, dando origen a un flujo de calor \(Q\) sin alterar el estado del sistema. El sistema actúa simplemente como intermediario. Es evidente, según el primer principio, que el trabajo \(W\) es igual al calor \(Q\); o, dicho de otra forma, la transformación de trabajo en calor se realiza con un rendimiento del 100 por 100. Además, esta transformación puede seguir indefinidamente.
Para estudiar el fenómeno inverso, o sea, la transformación de calor en trabajo, debemos disponer también de un proceso o de una serie de procesos mediante los cuales puede tener lugar tal transformación indefinidamente y sin suponer cambios en el estado de un sistema cualquiera. En principio, pudiera parecer que la expansión isotérmica de un gas ideal es un proceso adecuado para considerarlo en el estudio de la transformación de calor en trabajo. En este caso no hay cambio de energía interna, ya que la temperatura permanece constante y, por tanto, \(-W=Q\), o sea, que el calor se ha convertido íntegramente en trabajo. Sin embargo, este proceso implica un cambio de estado del gas. El volumen aumenta y la presión disminuye hasta alcanzar la atmosférica, momento en que se detiene el proceso. Por consiguiente, no puede utilizarse indefinidamente.
Lo que se requiere es una serie de procesos mediante los cuales un sistema sea llevado de nuevo a su estado inicial, es decir, un ciclo. Cada uno de los procesos que constituye un ciclo puede suponer paso de calor hacia o desde el sistema, así como la realización de trabajo por o sobre el sistema. Así, para un ciclo completo el número total de unidades de calor absorbido por el sistema lo designaremos mediante el símbolo \(\left|Q_{H}\right|\), el número total de unidades de calor cedido por el sistema lo designaremos mediante el símbolo \(\left|Q_{C}\right|\), y el número total de unidades de trabajo realizado por el sistema lo designarem’os mediante el símbolo \(|W|\).
Las tres magnitudes \(\left|Q_{H}\right|,\left|Q_{C}\right|\) y \(|W|\) deben expresarse en las mismas unidades. Cuando se hace así son valores absolutos representados solamente por números positivos.
En todos los capítulos de este libro, a excepción del presente, los símbolos \(Q\) y \(W\) son magnitudes algebraicas que pueden tomar valores tanto negativos como positivos. Por tanto, si se calcula el calor transferido como consecuencia de una imanación isotérmica, por ejemplo, y se obtiene el resultado \(Q=-100 \mathrm{~J}\), esto requiere no sólo que \(|Q|\) sea \(100 \mathrm{~J}\), sino también que se trata de calor cedido por el sistema a la fuente en contacto con el sistema. En este capítulo trataremos de motores y frigoríficos en los que conoceremos siempre el sentido de paso de \(Q\) y \(W\), y solamente nos interesarán los valores absolutos de \(Q\) y \(W\).
Si \(\left|Q_{H}\right|\) es mayor que \(Q_{C}\) y si \(W\) es realizado por el sistema, el dispositivo mecánico mediante cuyo funcionamiento el sistema recorre el ciclo se denomina motor térmico. El objeto de un motor térmico es suministrar continuamente trabajo al exterior, realizando una y otra vez el mismo ciclo. El trabajo neto en un ciclo es la energía cedida y el calor absorbido por la sustancia que trabaja es la energía absorbida. El rendimiento térmico \(\eta\) del motor se define así:
\[ \text { Rendimiento térmico }=\frac{\begin{array}{c} \text { trabajo producido en cualesquiera unidades } \\ \text { de energía } \end{array}}{\text { calor absorbido en las mismas unidades }}, \]
o
\[ \eta=\frac{|W|}{\left|Q_{H}\right|} . \]
Aplicando el primer principio a un ciclo completo, y recordando que no hay variación de energía interna, se obtiene
\[ \left|Q_{H}\right|-\left|Q_{C}\right|=|W|, \]
y por tanto
\[ \eta=\frac{\left|Q_{H}\right|-\left|Q_{C}\right|}{\left|Q_{H}\right|}, \]
o sea,
\[ \eta=1-\frac{\left|Q_{C}\right|}{\left|Q_{H}\right|} . \]
De esta ecuación se deduce que \(\eta\) será la unidad (rendimiento del 100 por 100) cuando \(Q_{C}\) sea nulo. En otras palabras, si se puede construir un motor que trabaje de forma cíclica de modo que el sistema no ceda calor, la transformación del calor absorbido en trabajo tendrá lugar con un rendimiento del 100 por 100.
La transformación de calor en trabajo se realiza de ordinario en la práctica mediante dos tipos generales de motor: el motor de combustión externa, tal como el motor de Stirling y la máquina de vapor, y el motor de combustión interna, tal como el motor de gasolina y el motor diesel. En ambos tipos, un gas o una mezcla de gases contenidos en un cilindro experimenta un ciclo, haciendo, de este modo, que un pistón comunique a un eje un movimiento de rotación, venciendo una fuerza. En ambos motores es necesario que, en determinado instante del ciclo, el gas del cilindro sea llevado a alta temperatura y alta presión. En el motor de Stirling y en la máquina de vapor esto se consigue mediante un horno exterior. Sin embargo, la alta temperatura y alta presión alcanzadas en un motor de combustión interna se producen por la reacción química entre un combustible y aire, que tiene lugar en el propio cilimdro. En el motor de gasolina, la combustión de la gasolina con aire tiene lugar con explosión por la acción de una chispa eléctrica. Sin embargo, en el motor diesel se utiliza como combustible un aceite pesado cuya combustión se hace más lentamente pulverizando el aceite dentro del cilindro a un ritmo adecuado.
6.2. EL MOTOR STIRLING
En 1816, antes incluso de poder hablar de ciencia termodinámica, un clérigo de la Iglesia de Escocia llamado Robert Stirling diseño y patentó un motor de aire caliente que podía convertir en trabajo parte de la energía liberada al quemar un combustible. El motor de Stirling fue útil y popular durante muchos años, pero, al desarrollarse las máquinas de vapor y los motores de combustión interna, finalmente cayó en desuso. El motor de Stirling está siendo ahora desarrollado por los ingenieros de Philips Corporation en Holanda y de Ford Motor Company para su utilización en automóviles. El motor de Stirling tiene un bajo nivel de emisiones de escape y elevados rendimientos para cargas variables, pero sus costes de fabricación son altos.
En la Figura 6.1a se indican esquemáticamente las etapas del funcionamiento de un motor de Stirling algo idealizado. Dos pistones, un pistón de expansión a la izquierda y un pistón de compresión a la derecha, están acoplados al mismo eje. Cuando el eje gira, dichos pistones se mueven en fase distinta, con la ayuda de conexiones articuladas adecuadas. El espacio comprendido entre los dos pistones se llena con gas, y la parte izquierda de dicho espacio se mantiene en contacto con una fuente caliente (combustible quemándose), mientras la parte derecha está en contacto con una fuente fría. Entre las dos partes del gas hay un dispositivo \(R\), denominado regenerador, formado por un relleno de lana de acero o una serie de placas metálicas desviadoras, cuya conductividad térmica es suficientemente baja como para mantener la diferencia de temperatura entre los extremos caliente y frío, sin conducción de calor apreciable. El ciclo Stirling consiste en cuatro procesos esquematizados en la Figura 6.1a y que implican cambios de presión y de volumen representados (en condiciones ideales) sobre el diagrama \(P V\) de la Figura 6.1b.
1→2 Mientras el pistón de la izquierda permanece arriba, el pistón de la derecha sube hasta la mitad de su recorrido comprimiendo gas frío, en contacto con la fuente fría, y, por tanto, cediendo la cantidad \(\left|Q_{C}\right|\) de calor. Se trata de una compresión aproximadamente isotérmica, representada en la Figura 6.1b como proceso rigurosamente isotérmico a la temperatura \(\theta_{c}\). 2→3 El pistón de la izquierda desciende y el derecho sube, de modo que no hay cambio de volumen, pero el gas es obligado a pasar por el regenerador desde el lado frío al caliente, y entra en la parte de la izquierda a la temperatura más alta \(\theta_{H}\). Para conseguir esto, el regenerador suministra al gas el calor \(\left|Q_{R}\right|\). Obsérvese que el proceso \(2 \rightarrow 3\), en la Figura \(6.1 b\), es a volumen constante. 3→4 Ahora el pistón de la derecha permanece fijo mientras que el de la izquierda sigue descendiendo y en contacto con la fuente caliente, haciendo que el gas experimente una expansión aproximadamente isotérmica, durante la cual se absorbe el calor \(\left|Q_{H}\right|\) a la temperatura \(\theta_{H}\), como se indica en la Figura 6.1b. 4→1 Ambos pistones se mueven en sentidos opuestos, forzando así al gas a pasar por el regenerador desde el lado caliente al frío y cediendo al regenerador aproximadamente la misma cantidad de calor \(\left|Q_{R}\right|\) que absorbió en el proceso \(2 \rightarrow 3\). El proceso tiene lugar prácticamente a volumen constante.
El resultado neto del ciclo es la absorción del calor \(\left|Q_{H}\right|\) a alta temperatura \(\theta_{H}\), la cesión del calor \(\left|Q_{C}\right|\) a baja temperatura \(\theta_{C}\) y la producción de trabajo \(|W|=\left|Q_{H}\right|-\left|Q_{C}\right|\) al exterior, sin transferencia neta de calor resultante de los dos procesos a volumen constante. Debe destacarse que la Figura 6.1b se basa en las siguientes hipótesis: (1) el gas es ideal, (2) no hay fuga de gas, (3) no hay pérdida ni ganancia de calor a través de las paredes del cilindro, (4) no existe conducción de calor a través del regenerador, (5) no hay rozamiento. Un diagrama del indicador de un ciclo Stirling real se asemejaría mucho más al diagrama de la Figura 6.2. Aunque las idealizaciones citadas pudieran realizarse en la práctica, algo de calor \(\left|Q_{C}\right|\) sería cedido a la temperatura más baja y, por consiguiente, no podría convertirse en trabajo todo el calor suministrado \(\left|Q_{H}\right|\).
6.3. LA MAQUINA DE VAPOR
La Figura \(6.3 a\) muestra un diagrama esquemático de una central térmica elemental. El funcionamiento de dicha central puede comprenderse siguiendo los cambios de presión y volumen de una pequeña masa constante de agua al ser transportada desde el condensador a la cámara de expansión, pasando por la caldera, y devuelta al condensador. En el condensador el agua se halla a una presión menor que la atmosférica y a una temperatura inferior a la del punto de ebullición normal. Por medio de una bomba se introduce en la caldera, donde la presión y la temperatura son mucho más elevadas. En la caldera primero se calienta el agua hasta su punto de ebullición y luego se vaporiza, teniendo lugar ambos procesos a presión aproximadamente constante. Después el vapor se recalienta a la misma presión. Entonces se le deja penetrar en un cilindro donde se expande, de modo aproximadamente adiabático, contra un pistón o un conjunto de álabes de turbina, hasta que su presión y temperatura son las del condensador. Finalmente, en el condensador el vapor condensa transformándose en agua a la presión y temperatura iniciales, y así se completa el ciclo.
En el funcionamiento real de la central térmica existen varios procesos que dificultan su análisis exacto. Tales procesos son: (1) aceleración y
turbulencia provocadas por la diferencia de presión necesaria para que el vapor circule de una parte a otra de un aparato, (2) rozamiento, (3) conducción de calor a través de las paredes durante la expansión del vapor, (4) transferencias de calor debidas a una diferencia finita de temperatura entre el hogar y la caldera.
Puede lograrse una primera aproximación a la solución del problema de la central térmica introduciendo algunas hipótesis simplificadoras que, si bien no son en modo alguno realizables en la práctica, proporcionan al menos un límite superior del rendimiento y que definen un ciclo, llamado ciclo Rankine, en función del cual puede estudiarse el comportamiento real de una central térmica.
La Figura 6.3b muestra tres isotermas del agua sobre un diagrama \(P V\): una a la temperatura \(\theta_{C}\) del condensador, otra a la temperatura \(\theta_{B}\) en la caldera y una tercera a una temperatura todavía mayor \(\theta_{H}\). Las líneas de trazos son las curvas de saturación del líquido y del vapor. En el ciclo Rankine se supone que todos los procesos son perfectos; se eliminan así las complicaciones que surgen al considerar la aceleración turbulenta, rozamiento y pérdidas de calor. Partiendo del punto 1 , que representa el estado de \(1 \mathrm{~kg}\) de agua líquida saturada a la temperatura y presión del condensador, el ciclo Rankine comprende los seis procesos siguientes:
1→2 Compresión adiabática del agua hasta la presión de la caldera (durante este proceso sólo tiene lugar un cambio muy pequeño de temperatura). 2→3 Calentamiento isobárico del agua hasta el punto de ebullición. 3→4 Vaporización isobárica e isotérmica del agua hasta convertirse en vapor saturado. 4→5 Recalentamiento isobárico del vapor convirtiéndolo en vapor recalentado a la temperatura \(\theta_{H}\). 5→6 Expansión adiabática del vapor hasta vapor húmedo. \(6 \rightarrow 1\) Condensación isobárica e isotérmica del vapor convirtiéndolo en agua líquida saturada a la temperatura \(\theta_{C}\).
Durante los procesos \(2 \rightarrow 3,3 \rightarrow 4\) y \(4 \rightarrow 5\) el sistema recibe el calor \(\left|Q_{H}\right|\) de una fuente caliente, mientras que durante el proceso de condensación \(6 \rightarrow 1\) el sistema cede el calor \(\left|Q_{c}\right|\) a una fuente a la temperatura \(\theta_{c}\). Este proceso de condensación debe tener lugar con el fin de llevar de nuevo el sistema a su estado inicial 1. Dado que durante la condensación de agua siempre se desprende calor, \(\left|Q_{c}\right|\) no puede ser nulo y, por consiguiente, el calor \(\left|Q_{H}\right|\) suministrado no puede convertirse íntegramente en trabajo.
6.4. MOTORES DE COMBUSTION INTERNA
En el motor de gasolina, el ciclo supone la realización de seis procesos, cuatro de los cuales requieren movimiento del pistón y se denominan carreras:
- Carrera de admisión. Una mezcla de vapor de gasolina y aire penetra dentro del cilindro por aspiración del pistón. La presión del exterior es mayor que la de la mezcla, en cantidad suficiente para producir aceleración y vencer el rozamiento.
- Carrera de compresión. La mezcla de vapor de gasolina y aire se comprime hasta que su presión y temperatura se elevan considerablemente. Esto se lleva a cabo durante la carrera de compresión del pistón, en la cual se producen rozamiento, aceleración y pérdidas de calor por conducción.
- Ignición. Mediante una chispa eléctrica se provoca la combustión rápida de la mezcla caliente. Los productos resultantes de la combustión alcanzan una presión y temperatura muy elevadas, pero el volumen permanece constante. El pistón no se mueve durante este proceso.
- Carrera de expansión. Los productos calientes de la combustión se expanden y empujan el pistón hacia afuera, experimentando así una caída de presión y de temperatura. Durante esta carrera el pistón realiza trabajo y en ella también se producen rozamiento, aceleración y conducción del calor.
- Apertura de la válvula de escape. Al final de la carrera de expansión los productos de la combustión todavía están a temperatura y presión superiores a las del exterior. Una válvula de escape permite la salida de
parte del gas hasta que la presión es la atmosférica. Durante este proceso el pistón no se desplaza. 6. Carrera de escape. El pistón expulsa fuera del cilindro casi todos los productos resultantes de la combustión, ejerciendo una presión suficientemente mayor que la exterior como para producir aceleración y vencer el rozamiento. Esta es la carrera de escape.
En los procesos descritos anteriormente hay varios fenómenos que hacen casi imposible un estudio matemático exacto. Entre ellos se encuentran el rozamiento, la aceleración, la pérdida de calor por conducción y la reacción química entre el vapor de gasolina y el aire. Prescindiendo de estos efectos perturbadores se tiene una simplificación útil aunque excesiva. Con ello se tiene un tipo de motor de gasolina idealizado que realiza un ciclo conocido como ciclo Otto.
El comportamiento aproximado de un motor de gasolina puede obtenerse suponiendo el siguiente conjunto de condiciones ideales: (1) La sustancia que trabaja es, en todo instante, aire, que se comporta como un gas ideal de capacidades caloríficas constantes. (2) Todos los procesos son cuasi-estáticos. (3) No hay rozamiento. Sobre la base de estas hipótesis el ciclo Otto normal de aire se compone de seis procesos sencillos de un gas ideal, que se representan sobre un diagrama \(P V\) en la Figura 6.4a. \(5 \rightarrow 1\) representa una admisión isobárica cuasi-estática a la presión atmosférica. No hay rozamiento ni aceleración. El volumen varía desde cero
hasta \(V_{1}\) cuando el número de moles pasa de cero a \(n_{1}\), de acuerdo con la ecuación
\[ P_{0} V=b R \theta_{1}, \]
siendo \(P_{0}\) la presión atmosférica y \(\theta_{1}\) la temperatura del aire exterior. \(1 \rightarrow 2\) representa una compresión adiabática cuasi-estática de \(n_{1}\) moles de aire. No hay rozamiento ni pérdidas de calor a través de las paredes del cilindro. La temperatura se eleva de \(\theta_{1}\) a \(\theta_{2}\) de acuerdo con la ecuación
\[ \theta_{1} V_{1}^{\gamma-1}=\theta_{2} V_{2}^{\gamma-1} . \]
\(2 \rightarrow 3\) representa un aumento isocórico cuasi-estático de la temperatura y presión de \(n_{1}\) moles de aire, producido por la absorción del calor \(\left|Q_{H}\right|\) de una serie de fuentes externas cuyas temperaturas varían entre \(\theta_{2}\) y \(\theta_{3}\). Si sólo hubiera una fuente a la temperatura \(\theta_{3}\), el paso de calor no sería cuasiestático. Este proceso es una aproximación del efecto debido a la explosión en un motor de gasolina. \(3 \rightarrow 4\) constituye una expansión adiabática cuasi-estática de \(n_{1}\) moles de aire, implicando una caída de temperatura de \(\theta_{3}\) a \(\theta_{4}\), de acuerdo con la ecuación
\[ \theta_{3} V_{2}^{\gamma-1}=\theta_{4} V_{1}^{\gamma-1} . \]
\(4 \rightarrow 1\) representa un descenso isocórico cuasi-estático de la temperatura y presión de \(n_{1}\) moles de aire, producido por la cesión del calor \(\left|Q_{C}\right|\) a una serie de fuentes externas a temperaturas comprendidas entre \(\theta_{4}\) y \(\theta_{1}\). Este proceso es una aproximación a lo que sucede cuando, al abrir la válvula de escape, la presión desciende hasta ser la presión atmosférica. \(1 \rightarrow 5\) representa el escape isobárico cuasi-estático a la presión atmosférica. El volumen varía de \(V_{1}\) a cero cuando el número de moles lo hace de \(n_{1}\) a cero, permaneciendo la temperatura constante en el valor \(\theta_{1}\).
Evidentemente, los dos procesos isobáricos \(5 \rightarrow 1\) y \(1 \rightarrow 5\) se compensan y no es necesario considerarlos. De los cuatro procesos restantes, sólo dos suponen un flujo de calor. Existe una absorción de \(\left|Q_{H}\right|\) unidades de calor a altas temperaturas en la etapa \(2 \rightarrow 3\) y una cesión de \(\left|Q_{C}\right|\) unidades de calor a temperaturas más bajas en la etapa \(4 \rightarrow 1\), como se indica en la Figura \(6.4 a\).
Suponiendo \(C_{Y}\) constante a lo largo de la línea \(2 \rightarrow 3\), se obtiene:
\[ \left|Q_{H}\right|=\int_{\theta_{2}}^{\theta_{3}} C_{V} d \theta=C_{V}\left(\theta_{3}-\theta_{2}\right) \]
Análogamente, para el proceso \(4 \rightarrow 1\)
\[ \left|Q_{C}\right|=\int_{\theta_{4}}^{\theta_{1}} C_{V} d \theta=C_{V}\left(\theta_{4}-\theta_{1}\right) \]
Por consiguiente, el rendimiento térmico es
\[ \eta=1-\frac{\left|Q_{C}\right|}{\left|Q_{H}\right|}=1-\frac{\theta_{4}-\theta_{1}}{\theta_{3}-\theta_{2}} . \]
Los dos procesos adiabáticos proporcionan las ecuaciones
\[ \theta_{4} V_{1}^{\gamma^{-1}}=\theta_{3} V_{2}^{-1} \]
y
\[ \theta_{1} V_{1}^{\gamma-1}=\theta_{2} V_{2}^{\gamma-1}, \]
que, por sustracción, dan lugar a
\[ \left(\theta_{4}-\theta_{1}\right) V_{1}^{-1}=\left(\theta_{3}-\theta_{2}\right) V_{2}^{-1}, \]
o sea,
\[ \frac{\theta_{4}-\theta_{1}}{\theta_{3}-\theta_{2}}=\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)^{\gamma-1} . \]
Designando por \(r\) la razón \(V_{1} / V_{2}\), denominada relación de compresión o relación de expansión, tenemos finalmente
\[ \eta=1-\frac{1}{\left(V_{1} / V_{2}\right)^{\gamma^{-1}}}=1-\frac{1}{r^{\gamma^{-1}}} . \]
En un motor real de gasolina, \(r\) no puede exceder aproximadamente de 10 porque, si es mayor, la elevación de temperatura después de la compresión de la mezcla de gasolina y aire será suficiente para provocar la combustión antes de producirse la chispa. Es lo que se denomina preignición. Tomando \(r\) igual a 9 y \(\gamma\) igual a 1.5 (para el aire \(\gamma\) es, más aproximadamente, 1.4),
\[ \begin{aligned} \eta & =1-\frac{1}{\sqrt{9}} \\ & =0.67=67 \% . \end{aligned} \]
Todos los efectos perturbadores existentes en un motor real de gasolina, tales como aceleración, turbulencia y conducción de calor en virtud de una diferencia finita de temperaturas, hacen el rendimiento mucho menor que el del ciclo Otto normal de aire.
En el motor Diesel sólo se toma aire durante la admisión. El aire se comprime adiabáticamente hasta que la temperatura es lo bastante alta como para inflamar el aceite que se pulveriza dentro del cilindro después de la compresión. El suministro de aceite se regula de modo que la combustión sea aproximadamente isobárica, desplazándose el pistón durante la combustión. El resto del ciclo -o sea, la carrera de expansión, la apertura de la válvula de escape y la carrera de escape- es exactamente igual que en el motor de gasolina. Los habituales efectos perturbadores, tales como reacción química, rozamiento, aceleración y pérdida de calor, tienen lugar tanto en el motor Diesel como en el de gasolina. Prescindiendo de estos efectos, al hacer las mismas hipótesis simplificadoras que antes, obtenemos un motor Diesel idealizado que realiza un ciclo denominado ciclo Diesel normal de aire. Si en la Figura 6.4a la línea \(2 \rightarrow 3\) se imagina horizontal en lugar de vertical, se tiene el ciclo Diesel normal de aire que se representa en la Figura 6.4b.
Es fácil demostrar que el rendimiento de un motor que funciona según un ciclo Diesel idealizado viene dado por
\[ \eta=1-\frac{1}{\gamma} \frac{\left(1 / r_{E}\right)^{\gamma}-\left(1 / r_{C}\right)^{\gamma}}{\left(1 / r_{E}\right)-\left(1 / r_{C}\right)}, \]
siendo
\[ r_{E}=\frac{V_{1}}{V_{3}}=\text { relación de expansión }, \]
y
\[ r_{C}=\frac{V_{1}}{V_{2}}=\text { relación de compresión } \]
En la práctica, la relación de compresión de un motor Diesel puede ser mucho mayor que la de un motor de gasolina porque no hay peligro de preignición, ya que sólo se comprime aire. Tomando, por ejemplo, \(r_{C}=15\), \(r_{E}=5\) y \(\gamma=1.5\),
\[ \begin{aligned} \eta & =1-\frac{2}{3} \frac{1 / 5^{3 / 2}-1 / 15^{3 / 2}}{\frac{1}{5}-\frac{1}{15}} \\ & =1-5(0.0895-0.0172) \\ & =64 \% \end{aligned} \]
Los rendimientos de un motor Diesel real son, naturalmente, todavía menores, por las razones mencionadas al tratar de los motores de gasolina.
En el motor Diesel que hemos considerado, para la realización de un ciclo son necesarias cuatro carreras del pistón y sólo una de las cuatro suministra trabajo. Como en el motor Diesel sólo se comprime aire, es posible suprimir las carreras de admisión y escape y completar así el ciclo en dos carreras. En el motor Diesel de dos tiempos (dos carreras), de cada dos carreras, una summistra trabajo, con lo que la potencia se duplica. El fundamento es muy sencillo: al terminar la carrera que suministra trabajo, cuando el cilindro está lleno de productos de la combustión, se abre la válvula y tiene lugar el escape hasta que los productos de la combustión están a la presión atmosférica y entonces, en lugar de utilizar el propio pistón para expulsar a los gases restantes, se introduce aire nuevo dentro del cilindro, que sustituye a los productos de la combustión. Para este fin se utiliza en una sola operación lo que anteriormente requería dos carreras independientes del pistón.
6.5. ENUNCIADO DE KELVIN-PLANCK DEL SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA
En las páginas anteriores se han descrito brevemente y de modo algo superficial cuatro motores térmicos distintos. Existen, naturalmente, más tipos de motores y un número enorme de detalles constructivos, métodos para aumentar el rendimiento térmico, estudios matemáticos, etc., que constituyen el objeto de estudio de la termodinámica técnica. El origen de la termodinámica está en el intento de transformar calor en trabajo y de desarrollar la teoría del funcionamiento de los dispositivos propuestos para ello. Por consiguiente, es lógico que uno de los principios fundamentales de la termodinámica se base en el funcionamiento de los motores térmicos. Reducidas a sus términos más simples, las importantes características de los ciclos de motores térmicos se pueden resumir como sigue:
- Existe algún proceso o serie de procesos durante los cuales se produce absorción de calor de una fuente externa a alta temperatura (denominada simplemente fuente caliente).
- Existe algún proceso o serie de procesos durante los cuales se produce cesión de calor a una fuente externa a temperatura más baja (denominada simplemente fuente fría).
- Existe algún proceso o serie de procesos durante los cuales se suministra trabajo al exterior.
Esto se representa esquemáticamente en la Figura 6.5. No se ha construido nunca ningún motor que transforme en trabajo el calor tomado de una fuente sin ceder parte de calor a una fuente a temperatura más baja. Este enunciado negativo, que es resultado de la experiencia técnica, constituye el segundo principio de la termodinámica, que se ha formulado de varias formas. El enunciado original de Kelvin es: «Por medio de un agente material inanimado es imposible obtener efectos mecánicos de una porción cualquiera de materia, enfriándola por debajo de la temperatura del más frío de los objetos que la rodean». Según palabras de Planck: «Es imposible construir un motor que, trabajando según un ciclo completo, no produzca otro efecto que elevar un peso y enfriar una fuente caliente». Estos dos enunciados se pueden reunir en otro equivalente, al cual nos referiremos en lo sucesivo como enunciado de Kelvin-Planck del segundo principio:
No es posible un proceso cuyo único resultado sea la absorción de calor de una fuente y la conversión de este calor en trabajo.
Si el segundo principio no fuese cierto, sería posible impulsar un barco de vapor por el océano extrayendo calor de éste, o hacer funcionar una central térmica tomando calor del aire ambiente. El lector debe observar que ninguna de estas «imposibilidades» contradice el primer principio de la termodinámica. Después de todo, tanto el océano como el aire ambiente contienen una enorme reserva de energía interna que, en principio, puede extraerse en forma de calor. No hay nada en el primer principio que excluya la posibilidad de convertir íntegramente este calor en trabajo. Por consiguiente, el segundo principio no es una consecuencia del primero, sino que constituye por sí mismo una ley -independiente- de la naturaleza, refiriéndose a un aspecto de ella diferente del considerado por el primer principio. Este niega la posibilidad de crear o destruir energía; el segundo niega la posibilidad de utilizar la energía de un modo particular. Una máquina que funciona creando su propia energía, contradiciendo así el primer principio, se denomìna móvil perpetuo de primera especie. Una máquina que utiliza la energía interna de una sola fuente de calor, contradiciendo el segundo principio, se denomina móvil perpetuo de segunda especie.
6.6. FRIGORIFICO
Hemos visto que un motor térmico es un dispositivo mediante el cual un sistema recorre un ciclo, en sentido tal que se absorbe calor mientras la temperatura es alta, se cede una cantidad menor de calor a temperatura inferior y se realiza un trabajo neto sobre el exterior. Si imaginamos un ciclo recorrido en sentido opuesto al de un motor, el resultado sería la absorción de calor a una temperatura baja, la cesión de una cantidad mayor de calor a una temperatura alta y un trabajo neto realizado sobre el sistema. Un dispositivo que realiza un ciclo en este sentido se denomina frigorífico, y el sistema que experimenta el ciclo constituye el refrigerante.
El ciclo Stirling puede invertirse y entonces da lugar a uno de los tipos más útiles de frigorífico. El funcionamiento de un frigorífico Stirling ideal puede comprenderse mejor con la ayuda de los esquemas de la Figura 6.6.a y del diagrama \(P V\) de la Figura 6.6b.
\(1 \rightarrow 2\) Mientras el pistón derecho permanece fijo, el izquierdo sube, comprimiendo el gas isotérmicamente a la temperatura \(\theta_{H}\) y cediendo el calor \(\left|Q_{H}\right|\) a la fuente caliente. \(2 \rightarrow 3\) Ambos pistones se desplazan simultáneamente una misma distancia, obligando al gas a pasar por el regenerador, cediendo allí un calor \(\left|Q_{R}\right|\) y saliendo frío al espacio de la derecha. Esto tiene lugar a volumen constante. 3→4 Mientras el pistón de la izquierda permanece fijo, el de la derecha desciende, ocasionando una expansión/isotérmica a baja temperatura \(\theta_{C}\), durante la cual el gas absorbe el calor \(\left|Q_{C}\right|\) de la fuente fría. 4→1 Ambos pistones se desplazan y obligan al gas a pasar a volumen constante, a través del regenerador, desde el lado frío hacia el lado caliente, con lo cual absorbe aproximadamente el mismo calor \(\left|Q_{R}\right|\) que cedió al regenerador en el proceso \(2 \rightarrow 3\).
El ciclo Stirling de refrigeración ha sido utilizado recientemente por varias empresas para la construcción de frigoríficos para producir bajas temperaturas de \(90 \mathrm{~K}\) hasta \(12 \mathrm{~K}\). Como en el caso del motor Stirling, la Philips Company en Holanda ha ocupado el primer puesto en el diseño y construcción de grandes instalaciones industriales. (Las firmas North American Philips, A. D. Little y Hughes Aircraft suministran unidades en miniatura, adecuadas para laboratorios de enseñanza.)
Para adquirir un mejor conocimiento acerca del funcionamiento de un frigorífico, consideremos algunos de los detalles de una central frigorífica comercial que se aplican en la mayor parte de los frigoríficos eléctricos domésticos. El esquema de la Figura 6.7a muestra el recorrido de una masa constante de refrigerante cuando circula desde el depósito de líquido, donde se encuentra a la temperatura y presión del condensador, hasta el compresor pasando por la válvula de estrangulación y el evaporador, y volviendo finalmente al condensador.
En el condensador, el refrigerante se halla a una presión elevada y a una temperatura tan baja como sea posible obtener enfriando con aire o agua. La sustancia refrigerante se elige siempre de tal naturaleza que, a estas presión y temperatura, sea líquido saturado. Cuando un fluido atraviesa adiabáticamente un paso estrecho (una válvula de aguja) desde una región de presión elevada constante a otra de presión más baja también constante, se dice que experimenta un proceso de estrangulación (véase Prob. 4.8) o una expansión Joule-Thomson o expansión Joule-Kelvin. En el Capítulo 9 se estudiará con cierto detalle este proceso. Constituye una propiedad de los líquidos
saturados (no de los gases) la de que un proceso de estrangulación provoca siempre enfriamiento y vaporización parcial. En el evaporador, el fluido se vaporiza por completo, siendo suministrado el calor de vaporización por los materiales a enfriar. Después el vapor se comprime adiabáticamente, aumentando su temperatura. En el condensador, el vapor se enfría hasta que condensa y queda completamente licuado.
El ciclo ideal de refrigeración, esquematizado en el diagrama \(P V\) de la Figura 6.7b, es el resultado de prescindir de las dificultades usuales debidas a turbulencia, rozamiento, pérdidas de calor, etc. En la Figura 6.7b, sobre un diagrama \(P V\), se muestran dos isotermas de un fluido tal como el amoniaco o el freón -una a \(\theta_{H}\), temperatura del condensador, y otra a \(\theta_{C}\), temperatura del evaporador-. Partiendo del punto 1, que representa el estado del híquido saturado a la temperatura y presión del condensador, el ciclo de refrigeración comercial comprende los siguientes procesos:
1→2 Proceso de estrangulación que implica un descenso de presión y temperatura. Durante un proceso de esta clase los estados de un fluido comprendidos entre el inicial y el final no pueden describirse con ayuda de coordenadas termodinámicas que se refieran al sistema en conjunto y, por consiguiente, no pueden representarse por puntos de un diagrama \(P V\). Esta es la razón de la línea de trazos entre 1 y 2 .
\(2 \rightarrow 3\) Vaporización isobárica e isotérmica, en la cual el refrigerante absorbe el calor \(\left|Q_{C}\right|\) a baja temperatura \(\theta_{C}\), enfriando así los materiales de la fuente fría. 3→4 Compresión adiabática del vapor hasta una temperatura superior a la del condensador que es \(\theta_{H}\). \(4 \rightarrow 1\) Enfriamiento isobárico y condensación a \(\theta_{H}\).
La finalidad de cualquier frigorífico es extraer tanto calor como sea posible de una fuente fría con el mínimo gasto posible de trabajo. Lo «producido», por así decirlo, es el calor extraído de la fuente fría, y lo «gastado» es trabajo. Por tanto, una medida adecuada del rendimiento de un frigorífico es el coeficiente de eficiencia \(\omega\) (llamado también razón enfriamiento a energía), siendo
\[ \omega=\frac{\text { calor extraído de la fuente fría }}{\text { trabajo realizado sobre el refrigerante }} \]
Si en un ciclo el refrigerante absorbe de la fuente fría el calor \(\left|Q_{C}\right|\) y el trabajo que hace el motor eléctrico que acciona el frigorífico es \(W\), se tiene
\[ \omega=\frac{\left|Q_{C}\right|}{|W|}=\frac{\left|Q_{C}\right|}{\left|Q_{H}\right|-\left|Q_{C}\right|} \]
El coeficiente de eficiencia de un frigorífico puede ser considerablemente mayor que la unidad. Si, por ejemplo, se supone el valor 5,
\[ \omega=\frac{\left|Q_{C}\right|}{|W|}=5 . \]
Pero
\[ \left|Q_{C}\right|=\left|Q_{H}\right|-|W| ; \]
por tanto,
\[ \begin{aligned} \frac{\left|Q_{H}\right|-|W|}{|W|} & =5, \\ \frac{\left|Q_{H}\right|}{|W|} & =6, \end{aligned} \]
y, en consecuencia, el calor cedido a la temperatura más alta es igual a seis veces el trabajo realizado. Si el trabajo lo proporciona un motor eléctrico, por cada julio de energía eléctrica suministrada se liberan \(6 \mathrm{~J}\) de calor; mientras que si en una resistencia eléctrica se disipase \(1 \mathrm{~J}\) de energía eléctrica, se obtendría como máximo \(1 \mathrm{~J}\) de calor. En consecuencia, parece ser muy ventajoso calentar una casa enfriando el exterior.
Esto fue indicado por primera vez en 1852 por Lord Kelvin, que diseñó una máquina con esta finalidad. Sin embargo, el dispositivo no llegó a construirse, y fue Haldane, unos 75 años más tarde, quien utilizó el principio y calentó su casa de Escocia enfriando el aire exterior y agua de abastecimiento urbano. En el mercado han aparecido muchos dispositivos, denominados «bombas de calor», para calefacción durante el invierno, enfriando ya sea el suelo, el aire exterior o el agua de abastecimiento. Haciendo girar la válvula e invirtiendo el sentido de paso del refrigerante, la bomba de calor puede usarse para refrigerar en verano, como indica la Figura 6.8. Varias
unidades comerciales tienen coeficientes de eficiencia comprendidos entre 2 y 7 aproximadamente. El diseño, instalación y mantenimiento de dichas unidades constituyen actualmente una rama importante de la ingeniería.
El funcionamiento de un frigorífico puede simbolizarse de forma esquemática como indica la Figura 6.9, que debe compararse con el de la Figura 6.5 que corresponde a un motor. Para hacer pasar calor de una fuente fría a otra caliente siempre se necesita trabajo. En los frigoríficos domésticos este trabajo lo realiza usualmente un motor eléctrico, cuyo consumo aparece regularmente en la facturación mensual. Sería una suerte para la humanidad que no fuese necesario el suministro externo de energía, pero ha de admitirse, ciertamente, que la experiencia indica lo contrario. Este enunciado negativo nos conduce al enunciado de Clausius para el segundo principio:
No es posible proceso alguno cuyo único resultado sea la transferencia de calor desde un cuerpo frío a otro más caliente.
A primera vista, los enunciados de Kelvin-Planck y de Clausius parecen no estar relacionados entre sí, pero veremos en seguida que son equivalentes en todos sus aspectos.
6.7. EQUIVALENCIA DE LOS ENUNCIADOS DE KELVIN-PLANCK Y DE CLAUSIUS
Adoptemos la notación siguiente: \(K=\) veracidad del enunciado de Kelvin-Planck, \(-K=\) falsedad del enunciado de Kelvin-Planck, \(C=\) veracidad del enunciado de Clausius,
- \(C=\) falsedad del enunciado del Clausius.
Dos proposiciones o enunciados se dice que son equivalentes cuando la veracidad de uno implica la del segundo y la veracidad del segundo implica la del primero. Utilizando el símbolo ɔ para significar «implica» y el símbolo \(\equiv\) para designar equivalencia, tenemos, por definición,
\[ K \equiv C \]
si
\[ K \supset C \quad \mathrm{y} \quad C \supset K . \]
Ahora bien, puede demostrarse fácilmente que
\[ K \equiv C \]
si
\[ -K \supset-C \quad y \quad-C \supset-K . \]
Así, para probar la equivalencia de \(K\) y \(C\), debemos demostrar que la contradicción de un enunciado implica la del segundo y viceversa.
- Para probar que \(-C \supset-K\), consideremos un frigorífico, representado en el lado izquierdo de la Figura 6.10, que no necesita trabajo para pasar \(\left|Q_{2}\right|\) unidades de calor desde una fuente fría a una fuente caliente y que, por tanto, contradice el enunciado de Clausius. Supongamos que un motor térmico (a la derecha) trabaja también entre las dos mismas fuentes de modo que se cede el calor \(\left|Q_{2}\right|\) a la fuente fría. Naturalmente, el motor no contradice ningún principio, pero el frigorífico y el motor en conjunto constituyen un dispositivo autónomo cuyo único efecto es tomar el calor \(Q_{1}-Q_{2}\) de la fuente caliente y convertirlo todo en trabajo. En consecuencia, el conjunto de frigorífico y motor constituyen una contradicción del enunciado de Kelvin-Planck.
- Para probar que \(-K \supset-C\), consideremos un motor, representado en el lado izquierdo de la Figura 6.11, que no cede calor a la fuente fría y que, por consiguiente, contradice el enunciado de Kelvin-Planck. Supongamos que un frigorífico (a la derecha) trabaja también entre las dos mismas fuentes y utiliza todo el trabajo suministrado por el motor. El frigorífico no contradice ningún principio, pero el motor y el frigorífico en conjunto constituyen un dispositivo autónomo cuyo único efecto es pasar el calor \(\left|Q_{2}\right|\) de la fuente fría a la caliente. Por tanto, el conjunto de motor y frigorífico constituyen una contradicción del enunciado de Clausius. Llegamos, por tanto, a la conclusión de que ambos enunciados del segundo principio son equivalentes. En cada razonamiento en particular puede usarse uno u otro.
PROBLEMAS
La Figura P6.1 representa un diagrama PV simplificado del ciclo Joule para un gas ideal. Todos los procesos son cuasi-estáticos y \(C_{p}\) es constante. Demostrar que el rendimiento térmico de un motor que realiza este ciclo es
\[ 1-\left(\frac{P_{1}}{P_{2}}\right)^{(\gamma-1) / \gamma} \]
Figura P6.1. Ciclo Joule de gas ideal. La Figura P6.2 representa un diagrama PV simplificado del ciclo Sargent para un gas ideal. Todos los procesos son cuasi-estátieos y las capacidades caloríficas son constantes. Demostrar que el rendimiento térmico de un motor que realiza este ciclo es
Figura P6.2. Ciclo Sargent de gas ideal. La Figura P6.3 representa un cielo imaginario para un motor que utiliza un gas ideal. Suponiendo eonstantes las eapaeidades ealoríficas, demostrar que el rendimiento térmieo es
\[ \eta=1-\gamma \frac{\left(V_{1} / V_{2}\right)-1}{\left(P_{3} / P_{2}\right)-1} . \]
Figura P6.3. Un motor de gas ideal trabaja según un eielo que, representado en el diagrama \(P V\), es un rectángulo. Sean \(P_{1}\) y \(P_{2}\), respectivamente, las presiones inferior y superior, y designemos por \(V_{1}\) y \(V_{2}\) los volúmenes inferior y superior, respectivamente.
- Calcular el trabajo realizado en un ciclo.
- Indicar qué partes del ciclo implican paso de calor al gas y ealcular la cantidad de calor absorbido por el gas en un ciclo. (Suponer eonstantes las capacidades caloríficas.)
- Demostrar que el rendimiento de este motor es \[ \eta=\frac{i-1}{\frac{i P_{2}}{P_{2}-P_{1}}+\frac{V_{1}}{V_{2}-V_{1}}} . \]
Un recipiente contiene \(10^{-3} \mathrm{~m}^{3}\) de helio gas a \(3 \mathrm{~K}\) y \(10^{3} \mathrm{~Pa}\). Tómese el cero de energía interna para el helio en este punto.
- Se eleva la temperatura a volumen constante hasta \(300 \mathrm{~K}\). Suponiendo que el helio se comporta como un gas ideal monoatómico, ¿cuánto ealor se absorbe y cuál es la energía interna dcl helio? ¿Puede considerarse esta energía como calor o trabajo almacenados?
- El helio se expande adiabáticamente hasta \(3 \mathrm{~K}\). ¿Cuánto trabajo se ha realizado y cuál es la nueva energía interna? ¿Se ha convertido calor en trabajo sin compensación, eontradiciendo así el segundo principio?
- Ahora el helio se comprime isotérmicamente hasta su volumen inicial. ¿Qué cantidades de calor y trabajo intervienen en este proceso? ¿Cuál es el rendimiento del ciclo? Dibujar el diagrama \(P V\).
Deducir la expresión del rendimiento de un motor ideal funcionando según un ciclo Diesel normal de aire, Ecuación (6-4).
- Supóngase que un gas ideal experimenta el ciclo idealizado de un motor Stirling, tal como el de la Figura 6.1b, con regeneración perfecta. Demostrar que \[ \eta=1-\frac{\theta_{C}}{\theta_{H}} . \]
- Si se invierte este ciclo, calcular el coeficiente de eficiencia.
En los trópicos el agua del océano próxima a la supersicie está más caliente que el agua profunda. ¿Estaría en contradicción con el segundo principio un motor que funcionase entre estos dos niveles?
Una batería de acumuladores está coneetada a un motor, que se utiliza para levantar un peso. La batería permanece a temperatura constante recibiendo calor del aire exterior. ¿Constituye este sistema una contradicción del segundo principio? ¿Por qué?
Existen muchos sólidos paramagnéticos cuya energía interna es función únicamente de la temperatura, como en un gas ideal. En una disminución isotérmica del campo magnético se absorbe calor de una fuente y se convierte integramentc en trabajo. ¿Constituye una contradicción del segundo principio? ¿Por qué?
El estado inicial de \(0.1 \mathrm{~mol}\) de un gas ideal monoatómico es \(P_{0}=32 \mathrm{~Pa}\) y \(V_{0}=8 \mathrm{~m}^{3}\). El estado sinal es \(P_{1}=1 \mathrm{~Pa}\) y \(V_{1}=64 \mathrm{~m}^{3}\). Supóngase que el gas experimenta un proceso a lo largo de la línea recta que une estos dos puntos y cuya ecuación es \(\mathrm{P}_{\mathrm{Q}}=a V+b\), siendo \(a=-31 / 56\) y \(b=255 / 7\). Dibujar esta línea en un diagrama PV. Calcular:
- \(\theta\) en función de \(V\) a lo largo de esta línea.
- El valor de \(V\) para el cual \(\theta\) es máxima.
- Los valores de \(\theta_{0}, \theta_{\text {max }}\) y \(\theta_{1}\).
Calcular:
- El calor \(Q\) transferido al pasar del volumen \(V_{0}\) a cualquier otro volumen \(V\) sobre esta línea.
- El valor de \(P\) y \(V\) para los cuales \(Q\) es máximo.
- El calor transferido a lo largo de la línea al pasar de \(V_{0}\) a \(V\left(Q=Q_{\text {máx }}\right)\).
- El calor transserido al pasar de \(V\left(Q=\right.\) máx ) a \(V_{1}\).
Demostrar que los dos puntos finales del Problema 6.11 se eucuentran situados sobre una adiabática. Hacieudo el recorrido de 0 a 1 por la línea del Problema 6.11 y regresando de 1 a 0 a lo largo de la adiabática se describe un ciclo que Willis y Kirwin, de la Univcrsidad de Rhode Island, denominaron «Sadly Cannot». Dibujar, a escala, el diagrama PV de este ciclo y calcular:
- El trabajo realizado sobre el gas durante la adiabátiea.
- El trabajo neto realizado en el ciclo.
- El calor neto transferido al gas.
- El rendimiento del ciclo.
- El rendimiento de un ciclo de Carnot funcionando entre dos fuentes de calor a las temperaturas máxima y mínima del ciclo dado.